RAFFINEMENT DES SOLUTIONS DES SCHÉMAS AUX DIFFÉRENCES

Depuis que ce livre a paru en langue russe, les auteurs ont réuni plusieurs nouveaux exemples d’emploi des algorithmes. On obtenait un effet particulièrement spectaculaire dans les problèmes pluridimensionnels et quasi linéaires de la physique mathématique lorsque les schémas aux différences (ou variationnels aux différences) simples doublés de l’extrapolation de Richardson ou le raffinement par des différences d’ordre relativement peu élevé fournissaient des résultats très concluants en ce qui concerne la précision. Car nombreux sont les cas où seuls les schémas simples d’ordre d’approximationfaible possèdent des propriétés requises telles que la stabilité asymptotique, la monotonie, la validité des analogues discrets des lois de conservation, l’économie d’un pas de temps, la symétrie, l’algorithme explicite, etc. Ces schémas garantissent souvent un comportement qualitatif juste de la solution approchée sans qu’on obtienne une bonne précision même si l’on travaille avec de grandes capacités. Mais s’il y a régularité ou si l’on supprime spécialement les singularités, alors l’extrapolation de Richardson ou la correction des solutions des schémas par des différences d’ordre assez peu élevé aboutissent nécessairement à des résultats très précis.
L’ouvrage que nous présentons aux lecteurs de langue française diffère légèrement de l’édition russe: les auteurs ont décrit sous forme générale la méthode des différences d’ordre supérieur pour les problèmes linéaires, ajouté des numéros traitant des procédés d’extrapolation non linéaires, de l’influence des erreurs de calcul et remplacé certains algorithmes d’extrapolation par d’autres plus universels. La manière d’exposer les matériaux reste la même. S’agissant des problèmes linéaires, tous les résultats découlent de règle des théorèmes généraux, et on démontre chaque cas non linéaire sans négliger aucun calcul intermédiaire.