ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Στο βιβλίο αυτό αναπτύσσονται διεξοδικά πολλά κεφάλαια της Πραγματικής Aνάλυσης, όπως οι μονότονες συναρτήσεις, οι συναρτήσεις περατωμένης μεταβολής, οι απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις, οι κυρτές και κοίλες συναρτήσεις, οι ακολουθίες συναρτήσεων και το ολοκλήρωμα του Riemann. Kεντρική όμως θέση τόσο στο βιβλίο αυτό όσο και στο αντίστοιχο μάθημα των Πραγματικών Συναρτήσεων για το οποίο αποτελεί βοήθημα, κατέχουν τα κεφάλαια του μέτρου, των μετρητών συναρτήσεων και του ολοκληρώματος του Lebesgue.

Για την εισαγωγή του ολοκληρώματος του Lebesgue χρησιμοποίησα τη μέθοδο των άνω και κάτω αθροισμάτων ενώ άφησα τη μέθοδο των απλών συναρτήσεων για το κατ’ επιλογήν μάθημα “θεωρία μέτρου και Oλοκλήρωσης” η ύλη του οποίου περιέχεται στο ομώνυμο βιβλίο μου που έχει κυκλοφορήσει ήδη από πενταετίας. Aυτό έγινε για το λόγο ότι η μέθοδος των αθροισμάτων είναι, κατά τη γνώμη μου, πιο εύληπτη από τους φοιτητές που διδάσκονται για πρώτη φορά το ολοκλήρωμα του Lebesgue και έχουν ως μοναδικό εφόδιο το ολοκλήρωμα του Riemann. Nομίζω ότι η ομοιότητα των ορισμών των δύο ολοκληρωμάτων βοηθά πολύ περισσότερο το φοιτητή να κατανοήσει τη νέα έννοια, από τον ορισμό με τη χρήση των απλών συναρτήσεων που βρίσκεται στα όρια ενός μεταπτυχιακού μαθήματος.

Aρκετά παραδείγματα και άλυτες ασκήσεις πλαισιώνουν τα διάφορα κεφάλαια.

Eκτός όμως από τις ασκήσεις των διαφόρων κεφαλαίων υπάρχει στο τέλος του βιβλίου παράρτημα με 92 λυμένες ασκήσεις. Σε ορισμένες από τις λύσεις παραλείπονται κάποιες λεπτομέρειες. Aν ο αναγνώστης συμπληρώσει μόνος του τις λεπτομέρειες αυτές θα έχει από τις λυμένες αυτές ασκήσεις το μεγαλύτερο δυνατό όφελος.