ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Από τον πρόλογο του βιβλίου:

"Το βιβλίο αυτό είναι μια πρώτη προσπάθεια να σχεδιαστεί ένα εισαγωγικό μάθημα Αρμονικής ανάλυσης για τους φοιτητές του 4ου έτους και ίσως περισσότερο γι’ αυτούς που ξεκινούν τα μεταπτυχιακά τους στα καθαρά Μαθηματικά. Φαίνεται πως σύντομα θ’ αρχίσει η λειτουργία του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών και στο Τμήμα μας, το Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ.

Στο πρώτο μέρος του βιβλίου παρουσιάζονται οι έννοιες της Πραγματικής ανάλυσης που αποτελούν το φόντο της Αρμονικής ανάλυσης που ακολουθεί: Χώροι Lp και οι αντίστοιχοι ασθενείς, θεωρήματα παρεμβολής και λίγο πιο κάτω μια γρήγορη εισαγωγή στον μετασχηματισμό Fourier. Η παρουσίαση είναι σχεδόν πλήρης και η ενασχόληση με τις αποδείξεις που δίδονται είναι μιας πρώτης τάξεως ευκαιρία για τον φοιτητή να εξοικειωθεί με τις έννοιες, που θα είναι κατά κάποιο τρόπο, η καθημερινότητά του.

Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται ορισμένα κλασικά θέματα της Αρμονικής ανάλυσης. Οι αρμονικές συναρτήσεις και οι θαυμαστές ιδιότητές τους, ο πυρήνας της θερμότητας και ο παράγωγός του πυρήνας του Poisson. Έτσι γίνεται και μια πρώτη γνωριμία με τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους, τις θεμελιώδεις λύσεις τους και τις συνοριακές τους τιμές.

Ορισμένες έννοιες, ιδέες και αποτελέσματα που παρουσιάζονται σ’ αυτό το μέρος, (πυρήνες της θερμότητας και Poisson, ανισότητα Harnack), έπαιξαν καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της σύγχρονης Αρμονικής ανάλυσης.

Στο τρίτο και τελευταίο μέρος αποφάσισα να κάνω μια πρώτη παρουσίαση της θεωρίας των Calderόn-Zygmund για τους ιδιάζοντες ολοκληρωτικούς τελεστές. Η θεωρία ξεκινά στις αρχές του περασμένου αιώνα (δύσκολο να το συνηθίσουμε!) με τον μετασχηματισμό Hilbert για τις συζυγείς αρμονικές και με μεθόδους της μιγαδικής ανάλυσης. Αυτονομείται από τις μιγαδικές μεθόδους και περνά στον Rn. Με μεθόδους καθαρά πραγματικές μελετώνται οι μετασχηματισμοί Riesz, η πολυδιάστατη εκδοχή του Hilbert, και οι τελεστές συνέλιξης. Ο χώρος Hardy H1 και η συζυγία του με τον ΒΜΟ, είναι παιδιά των μετασχηματισμών Riesz."